Question

下列命题中：①函数f(x)=sinx+

2

sinx

(x∈(0，π))的最小值是2

2

；
②在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰或直角三角形；
③如果正实数a，b，c满足a+b＞c，则

a

1+a

+

b

1+b

＞

c

1+c

；
④如果y=f（x）是可导函数，则f′（x₀）=0是函数y=f（x）在x=x₀处取到极值的必要不充分条件．
其中正确的命题是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：

分析：①由x的范围，求出sinx的范围，然后利用函数单调性求f（x）的最小值，则命题①得到判断；
②直接由角的三角函数值相等得到角的关系，则三角形的形状得到判断；
③利用放缩法直接证明不等式得答案；
④由极值点的导数等于0，导数为0的点不一定是极值点判断命题④．

解答： 解：对于①，∵x∈（0，π），
∴0＜sinx≤1，令t=sinx（0＜t≤），
则f(t)=t+

2

t

在（0，1]上是减函数，
∴最小值为3．命题①错误；
对于②，在△ABC中，若sin2A=sin2B，
则2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=

π

2

．
∴△ABC是等腰或直角三角形．命题②正确；
对于③，如果正实数a，b，c满足a+b＞c，
则

a

1+a

+

b

1+b

＞

a

1+a+b

+

b

1+a+b

=

a+b

1+a+b

，
∵a+b＞c，
∴a+b+ac+bc＞c+ac+bc，即（a+b）（1+c）＞c（1+a+b），
∴

a+b

1+a+b

＞

c

1+c

．
则

a

1+a

+

b

1+b

＞

c

1+c

．命题③正确；
对于④，∵可导函数的极值点处的导数等于0，但导数为0的点不一定是极值点，
∴f′（x₀）=0是函数y=f（x）在x=x₀处取到极值的必要不充分条件，
命题④正确．
∴正确的命题是②③④．
故答案为：②③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用函数的单调性求函数最值，训练了不等式的证明方法，判断④的关键是明确导数为0的点不一定是极值点，是中档题．