Question

在平面直角坐标系xoy中，以点P为圆心的圆与圆x²+y²-2y=0外切且与x轴相切（两切点不重合）．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若直线mx-y+2m+5=0（m∈R）与点P的轨迹交于A、B两点，问：当m变化时，以线段AB为直径的圆是否会经过定点？若会，求出此定点；若不会，说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）根据以点P为圆心的圆与圆x²+y²-2y=0外切且与x轴相切，建立方程，化简可求动点P的轨迹方程；
（2）将y=mx+2m+5代入x²=4y得x²-4mx-8m-20=0，利用以线段AB为直径的圆的方程为x²+y²-（x₁+x₂）x+x₁x₂-（y₁+y₂）y+y₁y₂=0，结合韦达定理，可得关于m的方程4m²（1-y）+4m（3-x-y）+x²+y²-10y+5=0，利用关于m的方程有无数解，即可得出结论．

解答： 解：（1）设P（x，y），由题意知y＞0且

x2+(y-1)2

=y+1，得x²=4y
故所求点P的轨迹方程为x²=4y（y＞0）…（5分）
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
将y=mx+2m+5代入x²=4y得x²-4mx-8m-20=0
∴x₁+x₂=4m，x₁x₂=-8m-20…（7分）
而以线段AB为直径的圆的方程为x²+y²-（x₁+x₂）x+x₁x₂-（y₁+y₂）y+y₁y₂=0，
即x2+y2-(x1+x2)x+x1x2-

1

4

[(x1+x2)2-2x1x2]y+

x 2 1 x 2 2

16

=0，
得x²+y²-4mx-（4m²+4m+10）y+4m²+12m+5=0，…（10分）
整理成关于m的方程4m²（1-y）+4m（3-x-y）+x²+y²-10y+5=0
由于以上关于m的方程有无数解，故1-y=0且3-x-y=0且x²+y²-10y+5=0，
由以上方程构成的方程组有唯一解x=2，y=1．
由此可知，以线段AB为直径的圆必经过定点（2，1）．…（13分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查轨迹方程的求解，考查恒过定点问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．