Question

已知A={x|log₂（4x）•log₄

4

x2

≥2}，g（x）=

4x

4x+1

（Ⅰ）求出集合A；
（Ⅱ）判断g（x）的单调性，并用单调性的定义证明；
（Ⅲ）当λ为何值时，方程g（x）=λ在x∈A上有实数解？

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,对数的运算性质,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）求出集合A中的不等式的解集，即得集合A；
（Ⅱ）用单调性的定义证明g（x）的单调性；
（Ⅲ）由g（x）的单调性，求出g（x）在[

1

2

，1]上的最值，即可得出λ的取值范围是什么时，方程g（x）=λ在x∈A上有实数解．

解答： 解：（Ⅰ）集合A中的不等式可化为（2+log₂x）（1-log₂x）≥2，
整理得，log22x+log₂x≤0；
解得，-1≤log₂x≤0，
∴

1

2

≤x≤1；
∴A=[

1

2

，1]；
（Ⅱ）g（x）的定义域为R，
设x₁＞x₂，则4x1-4x2＞0；
∴g（x₁）-g（x₂）=

4x1

4x1+1

-

4x2

4x2+1

=

4x1-4x2

(4x1+1)(4x2+1)

＞0，
∴g（x）在R上是增函数．
（Ⅲ）当x∈[

1

2

，1]时，g（x）是增函数，
∴当x=

1

2

时，g（x）_min=

2

3

；当x=1时，g（x）_max=

4

5

；
∴当

2

3

≤λ≤

4

5

时，方程g（x）=λ在x∈A上有实数解．

点评：本题考查了函数与不等式和方程的解法与应用问题，解题时应根据函数的单调性求不等式的解集，求函数的最值，从而判定方程的解是否存在，是综合性题目．