Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），且离心率为

1

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设经过点F且斜率为1的直线交椭圆C与M、N两点，求MN的长．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），且离心率为

1

2

，求出c，a，可得b，即可求椭圆C的方程；
（2）设l：y=x-1，代入

x2

4

+

y2

3

=1，求出方程的解，即可求MN的长．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），且离心率为

1

2

，
∴c=1，a=2，
∴b=

3

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设l：y=x-1，代入

x2

4

+

y2

3

=1，可得7x²-8x-16=0，
∴x=4±4

2

，
∴|MN|=

2

•8

2

=16．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．