Question

求下列双曲线的标准方程．
（1）与椭圆

x2

16

+

y2

25

=1共焦点，且过点（-2，

10

）的双曲线；
（2）与双曲线

x2

16

-

y2

4

=1有公共焦点，且过点（3

2

，2）的双曲线．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意设所求双曲线为：

y2

a2

-

x2

9-a2

=1（a＞0），由此利用双曲线过点（-2，

10

），能求出双曲线方程．
（2）由题意设所求的双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0），从而得到

a2+b2=(±2 5 )2 18 a2 - 4 b2 =1

，由此能求出双曲线方程．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

16

+

y2

25

=1的焦点F（0，±3），
∴由题意设所求双曲线为：

y2

a2

-

x2

9-a2

=1（a＞0），
∵双曲线过点（-2，

10

），
∴

10

a2

-

4

9-a2

=1，
整理，得a⁴-23a²+90=0，
解得a²=5，或a²=18（舍）
∴所求双曲线方程为

y2

5

-

x2

4

=1．
（2）∵双曲线

x2

16

-

y2

4

=1的焦点为F（±2

5

，0），
∴由题意设所求的双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0）
∵双曲线过点（3

2

，2），
∴

a2+b2=(±2 5 )2 18 a2 - 4 b2 =1

，
解得a²=12，b²=8，
∴所求双曲线为

x2

12

-

y2

8

=1．

点评：本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．