Question

为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下

	男	女	合计
需要	40	30
不需要	160	270
合计

（Ⅰ）将表格填写完整，并估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关系？
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查方法估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．
附表：

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

Answer 1

考点：独立性检验的应用

专题：

分析：（Ⅲ）由列联表可知调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值．
（Ⅱ）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
（Ⅲ）从样本数据老年人中需要帮助的比例有明显差异，调查时，可以先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．

解答： 解：（Ⅲ）表格填对得（2分），

	男	女	合计
需  要	40	30	70
不需要	160	270	430
合计	200	300	500

调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为

70

500

=14%．…（4分）
（Ⅱ）K²的观测值k=

500×(40×270-30×160)2

200×300×70×430

≈9.967．…（8分）
由于9.967＞6.635，…（9分）
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关系．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老
年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女
的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．…（12分）

点评：本题主要考查统计学知识，考查独立性检验的思想，考查利用数学知识研究实际问题的能力以及相应的运算能力．