题目内容
19．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a}|=1$，|$\overrightarrow{b}$|=1，|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$|，k＞0．（1）求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ的最大值；
（2）若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线，求实数k的值．
分析 （1）利用向量的模，平方展开，推出向量的数量积，然后求解向量的夹角的最大值．
（2）通过$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，说明$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$夹角为0或π，利用数量积列出方程求解即可．
解答 解：（1）$|k\overrightarrow a+\overrightarrow b|=\sqrt{3}|\overrightarrow a-k\overrightarrow b|⇒{（k\overrightarrow a+\overrightarrow b）^2}=3{（\overrightarrow a-k\overrightarrow b）^2}$
即∴${k^2}{\overrightarrow a^2}+2k\overrightarrow a•\overrightarrow b+{\overrightarrow b^2}=3{\overrightarrow a^2}-6k\overrightarrow a•\overrightarrow b+3{k^2}{\overrightarrow b^2}⇒\overrightarrow a•\overrightarrow b=\frac{{{k^2}+1}}{4k}$…..（3分）
∵$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\frac{1}{4}（k+\frac{1}{k}）≥\frac{1}{2}$，当且仅当$k=\frac{1}{k}$且k＞0即k=1时等号成立…..（5分）
此时$cosθ=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{|\overrightarrow a||\overrightarrow b|}=\overrightarrow a•\overrightarrow b≥\frac{1}{2}$又y=cosθ在[0，π]上单调递减，从而${θ_{max}}=\frac{π}{3}$…．（7分）
（2）∵$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，∴$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$夹角为0或π，$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|\overrightarrow a||\overrightarrow b|cosθ=±1⇒|\frac{{{k^2}+1}}{4k}|=1$…（10分）
又∵k＞0，∴${k^2}+1=4k⇒k=2±\sqrt{3}$…（12分）
点评 本题考查向量的数量积的应用，向量的模以及向量的夹角的求法，考查计算能力．
如图，若正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，斜高为$\sqrt{5}$，则该正四棱锥的体积为$\frac{8}{3}$．