Question

已知x²+px+q＜0的解集为{x|-2＜x＜3}，若f（x）=qx²+px+1
（1）求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若f(x)＜

a

6

恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,一元二次不等式的应用

专题：

分析：（1）根据不等式的解集，建立条件关系，求出p，q的值，即可求不等式f（x）＞0的解集；
（2）将不等式f(x)＜

a

6

恒成立，转化为a＞6f（x），即可求a的取值范围．

解答： 解：（1）∵求不等式x²+px+q＜0的解集为{x|-2＜x＜3}，
∴-2，3是对应方程x²+px+q=0的两个根，
则

-2+3=-p -2×3=q

，解得

p=-1 q=-6

，
即f（x）=qx²+px+1=-6x²-x+1，
由f（x）＞0得-6x²-x+1＞0，
即6x²+x-1＜0，
（2x+1）（3x-1）＜0，
解得-

1

2

＜x＜

1

3

，
即不等式f（x）＞0的解集是（-

1

2

，

1

3

），
（2）若f(x)＜

a

6

恒成立，即球f（x）的最大值即可，
∵f（x）=-6x²-x+1=-6（x+

1

12

）²+

25

24

，
∴当x=-

1

12

时，f（x）的最大值为

25

24

，
∴要使若f(x)＜

a

6

恒成立，
则

25

24

＜

a

6

，
即a＞

25

4

，
即a的取值范围（

25

4

，+∞）．

点评：本题主要考查不等式的解法，利用一元二次不等式的解法以及不等式和函数方程之间的关系是解决本题的关键．