Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2C=cosC．
（1）求角C；
（2）若b=2a，△ABC的面积S=

3

2

sinA•sinB，求sinA及边c的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，将表示出的b及cosC代入表示出c=

7

a，利用正弦定理化简求出sinA的值，利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积代入求出

ab

sinAsinB

的值，再利用正弦定理即可求出c的值．

解答： 解：（1）∵cos2C=cosC，
∴2cos²C-cosC-1=0，即（2cosC+1）（cosC-1）=0，
又0＜C＜π，∴cosC=-

1

2

，
∴C=

2π

3

；
（2）∵b=2a，cosC=-

1

2

，
∴由余弦定理得：c²=a²+（2a）²-2a•（2a）cos

2π

3

=7a²，
∴c=

7

a，
又由正弦定理得：sinC=

7

sinA，
∴sinA=

21

14

；
∵S=

1

2

absinC，
∴

1

2

absinC=

3

2

sinA•sinB，即

ab

sinAsinB

=

3

sinC

=

3

3 2

=2，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得：（

c

sinC

）²=

a

sinA

•

b

sinB

=

ab

sinAsinB

=2，即

c

sinC

=

2

，
解得：c=

2

sin

2π

3

=

6

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．