Question

12．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c图象的对称轴方程为x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则f（x）的解析式为f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$，．

Answer 1

分析 方法一：根据函数的对称性设二次函数的两点式，将（1，4）代入，即可求得a的值，即可求得f（x）的解析式；
方法二：根据二次函数性质，将点代入即可求得a，b和c的值，即可求得f（x）的解析式．

解答 解：方法一：由二次函数的对称轴为x=2，过点（5，0），则必过点（-1，0），
则二次函数f（x）=a（x+1）（x-5），
将点（1，4）代入，a（1+1）（1-5）=4，解得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴二次函数f（x）=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-5）=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$，
∴f（x）的解析式f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$，
故答案为：f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$，
方法二：由题意可知：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=2}\\{a+b+c=4}\\{25a+5b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\\{c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴f（x）的解析式f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$，
故答案为：f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查二次函数解析式的求法，考查待定系数法的应用，属于基础题．