Question

1．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{899}{9}$，a_n+1=10a_n+1．
（1）证明数列{a_n+$\frac{1}{9}$}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足b_n=lg（a_n+$\frac{1}{9}$），T_n为数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和，求证：T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：构造等比数列，a_n+1+$\frac{1}{9}$=10a_n+$\frac{10}{9}$=10（a_n+$\frac{1}{9}$），则数列{a_n+$\frac{1}{9}$}是以100为首项，10为公比的等比数列，利用等比数列通项公式，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可知b_n=lg（a_n+$\frac{1}{9}$）=n+1，利用“裂项法”即可求得T_n，即可求得T_n＜$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）由a_n+1=10a_n+1得a_n+1+$\frac{1}{9}$=10a_n+$\frac{10}{9}$=10（a_n+$\frac{1}{9}$），
∴$\frac{{a}_{n+1}+\frac{1}{9}}{{a}_{n}+\frac{1}{9}}$=10，
∴数列{a_n+$\frac{1}{9}$}是等比数列，首项为a₁+$\frac{1}{9}$=100，公比为10，
∴a_n+$\frac{1}{9}$=100×10^n-1=10ⁿ⁺¹，
所以a_n=10ⁿ⁺¹-$\frac{1}{9}$．
（2）由（1）可得：b_n=lg（a_n+$\frac{1}{9}$）=lg10ⁿ⁺¹=n+1，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴T_n=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$＜$\frac{1}{2}$，
∴T_n＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查数列与函数单调性的关系，考查计算能力，属于中档题．