Question

3．已知$\overrightarrow{a}$=（cosωx，sinωx），$\overrightarrow{b}$=（2cosωx+sinωx，cosωx），x∈R，ω＞0，记$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$，且该函数的最小正周期是$\frac{π}{4}$．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合．

Answer 1

分析 （1）由已知向量的坐标利用数量积可得f（x）的解析式，再由降幂公式结合辅助角公式化简，由周期公式求得ω值；
（2）由f（x）=$\sqrt{2}$sin（8x+$\frac{π}{4}$）+1，可知当8x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，即x=$\frac{π}{32}$+$\frac{kπ}{4}$（k∈Z）时，sin（8x+$\frac{π}{4}$）取得最大值1，并由此求得求使f（x）取得最大值的x的集合．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（cosωx，sinωx），$\overrightarrow{b}$=（2cosωx+sinωx，cosωx），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=cosωx•（2cosωx+sinωx）+sinωx•cosωx
=2cos²ωx+2sinωx•cosωx=2•$\frac{1+cos2ωx}{2}$+sin 2ωx
=sin 2ωx+cos 2ωx+1
=$\sqrt{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）+1．
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）+1，其中x∈R，ω＞0．
∵函数f（x）的最小正周期是$\frac{π}{4}$，可得$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{4}$，∴ω=4；
（2）由（1）知，f（x）=$\sqrt{2}$sin（8x+$\frac{π}{4}$）+1．
当8x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，即x=$\frac{π}{32}$+$\frac{kπ}{4}$（k∈Z）时，sin（8x+$\frac{π}{4}$）取得最大值1，
∴函数f（x）的最大值是1+$\sqrt{2}$，此时x的集合为{x|x=$\frac{π}{32}$+$\frac{kπ}{4}$，k∈Z}．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．