Question

17．设数列{a_n}（n∈N*）的前n项和为s_n，满足s_n=2a_n-2
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n项和T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）推导出S_n=2a_n-2，从而n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2，进而a_n=2a_n-1（n≥2），由此得到数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，从而能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2^n}$，利用等比数列前n项和公式能求出结果．

解答 解：（1）∵数列{a_n}（n∈N*）的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-2，
由题意S_n=2a_n-2有n≥2，S_n-1=2a_n-1-2，
两式相减得，a_n=2a_n-1（n≥2），
又a₁=2，故数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
故${a_n}={2^n}$．（6分）
（2）由（1）得$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2^n}$，
∴${T_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{2^n}$
=$\frac{{\frac{1}{2}[{1-{{（{\frac{1}{2}}）}^n}}]}}{{1-\frac{1}{2}}}=1-\frac{1}{2^n}$．（12分）

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．