Question

7．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）经过点（0，1），且离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）直线l₁，l₂ 都过点H（0，m）（m≠0），分别与x 轴相交于D，E，其中D 为OE 的中点（O 为坐标原点）．直线l₁ 与圆x²+y²=$\frac{1}{2}$ 相切，直线l₂ 与椭圆C 相交于M，N，
求证：△OMN 的面积为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设P 为M，N 中点，Q 是椭圆上的点，$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OQ}$ （λ＞0 ），求λ 的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由b=1，根据椭圆的离心率公式，即可求得a的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）由题意可知：直线l₁的方程y=2kx+m，直线l₂的方程为y=kx+m，利用点到直线的距离公式求得1+4k²=2m²，将直线l₂代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式，即可求得△OMN 的面积1，为定值；
（Ⅲ）根据向量的坐标运算，求得$\frac{{x}_{3}^{2}}{4}+{y}_{3}^{2}={λ}^{2}$，利用中点坐标公式，代入即可求得λ的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则a=2，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由题意可知：直线l₂的斜率存在且不为0，
设l₂的方程为y=kx+m，则E（-$\frac{m}{k}$，0），D（-$\frac{m}{2k}$，0），则直线l₁的方程y=2kx+m，
由直线l₁与圆x²+y²=$\frac{1}{2}$ 相切，则$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即1+4k²=2m²，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则△=（8km）²-4（1+4k²）（4m²-4）=16（1+4k²-m²）＞0，
x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴△OMN 的面积S=$\frac{1}{2}$×丨OH丨×丨x₁-x₂丨=$\frac{1}{2}$×丨m丨×丨x₁-x₂丨，
丨x₁-x₂丨=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{1+4{k}^{2}-{m}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$，
则S=$\frac{1}{2}$×丨m丨×丨x₁-x₂丨=$\frac{1}{2}$×丨m丨×$\frac{4\sqrt{1+4{k}^{2}-{m}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$=1，
∴△OMN 的面积1，为定值；
（Ⅲ）设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），由$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OQ}$，则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=λ{x}_{4}}\\{{y}_{3}=λ{y}_{4}}\end{array}\right.$，
由Q在椭圆上，则$\frac{{x}_{4}^{2}}{4}+{y}_{4}^{2}=1$，则$\frac{{x}_{3}^{2}}{4}+{y}_{3}^{2}={λ}^{2}$，
由（Ⅱ）可得：x₃=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{4km}{1+4{k}^{2}}$，y₃=kx₃+m=$\frac{m}{1+4{k}^{2}}$，
代入$\frac{{x}_{3}^{2}}{4}+{y}_{3}^{2}={λ}^{2}$，即
$\frac{1}{4}$（-$\frac{4km}{1+4{k}^{2}}$）²+（$\frac{m}{1+4{k}^{2}}$）²=λ²，化简整理得：$\frac{{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=λ²，
由1+4k²=2m²，解得：λ²=$\frac{1}{2}$，
由λ＞0，则λ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴λ的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，中点坐标公式，韦达定理及弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．