Question

12．在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），已知以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
（Ⅰ）把椭圆C的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）设A，B分别为椭圆C上的两点，且OA⊥OB，求$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）椭圆C的参数方程消去参数，可得椭圆C普通方程，由此能求出椭圆的极坐标方程．
（Ⅱ）求出$\frac{1}{{ρ}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{4}+\frac{si{n}^{2}θ}{3}$，设A（ρ₁，θ₁），B（ρ₂，θ₂），则$\frac{1}{|OA{|}^{2}}+\frac{1}{|OB{|}^{2}}$=$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$
=$\frac{co{s}^{2}{θ}_{1}}{4}+\frac{si{n}^{2}{θ}_{1}}{3}$+$\frac{si{n}^{2}{θ}_{1}}{4}+\frac{co{s}^{2}{θ}_{1}}{3}$，由此能求出$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$的值．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
∴椭圆C普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
∴$\frac{（ρcosθ）^{2}}{4}+\frac{（ρsinθ）^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$\frac{1}{{ρ}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{4}+\frac{si{n}^{2}θ}{3}$，
设A（ρ₁，θ₁），B（ρ₂，θ₂），
则$\frac{1}{|OA{|}^{2}}+\frac{1}{|OB{|}^{2}}$=$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}{θ}_{1}}{4}+\frac{si{n}^{2}{θ}_{1}}{3}$+$\frac{co{s}^{2}（{θ}_{1}+\frac{π}{2}）}{4}+\frac{si{n}^{2}（{θ}_{1}+\frac{π}{2}）}{3}$
=$\frac{co{s}^{2}{θ}_{1}}{4}+\frac{si{n}^{2}{θ}_{1}}{3}$+$\frac{si{n}^{2}{θ}_{1}}{4}+\frac{co{s}^{2}{θ}_{1}}{3}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$=$\frac{7}{12}$．
∴$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$的值是$\frac{7}{12}$．

点评 本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查代数式求值，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．