Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-

a+1

2

x²+bx+a（a，b∈R），其导函数f′（x）的图象过原点．
（1）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=3处的切线方程；
（2）若存在x＜0，使得f′（x）=-9，求a的最大值；
（3）当a＞-1时，确定函数f（x）的零点个数．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,根的存在性及根的个数判断

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）先确定函数解析式，求出切点的坐标，再求出函数的导数后代入求出f′（3），即为所求的切线斜率，再代入点斜式进行整理即可；
（2）存在x＜0，使得f′（x）=x²-（a+1）x=-9，可得a+1=x+

9

x

，即可求a的最大值；
（3）当a＞-1时，分类讨论，确定函数的极大值与极小值，即可确定函数f（x）的零点个数．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³-

a+1

2

x²+bx+a，
∴f′（x）=x²-（a+1）x+b，
∵导函数f′（x）的图象过原点，
∴f′（0）=0，
∴b=0，
a=1时，f′（x）=x²-2x，
∴f′（3）=3，
∵f（3）=1，
∴切线方程为3x-y-8=0；
（2）存在x＜0，使得f′（x）=x²-（a+1）x=-9，
∴a+1=x+

9

x

，
∵x＜0，∴x+

9

x

≤-6，
∴a≤-7，
∴a的最大值为-7；
（3）f′（x）=x²-（a+1）x=x[x-（a+1）]．
-1＜a＜0时，f（0）=a＜0，f（a+1）＜0，∴零点1个；
a=0时，f（a+1）＜0，f（

3

2

）=0，f（3）＞0，零点两个；
a＞0时，f（0）=a＞0，f（a+1）＜0，零点三个．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查根的存在性及根的个数判断，考查分类讨论的数学思想，难度中等．