Question

已知函数f(x)=

1

2

ax2-2x+alnx (a∈R)
（Ⅰ）若函数y=f（x）存在极大值和极小值，求a的取值范围；
（Ⅱ）设m，n分别为f（x）的极大值和极小值，其中m=f（x₁），n=f（x₂），且x1∈(

1

3

，

1

2

)，求m+n的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，由题意得出方程组，解出即可，（2）先表示出m+n的代数式，再根据题意利用导数求出其取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

ax2-2x+a

x

，其中x＞0，
由题设知a≠0，且关于x的方程ax²-2x+a=0有两个不相等的正数根，
记为x₁，x₂，满足

△=4-4a2＞0 x1+x2= 2 a ＞0 x1x2=1

，化简得0＜a＜1，
经检验0＜a＜1满足题设，故为所求；
（Ⅱ）由题设结合x₁x₂=1，x₁＜x₂，知0＜x₁＜1，x2=

1

x1

，
且m=

1

2

a

x

2 1

-2x1+alnx1 ，n=

1

2

a

x

2 2

-2x2+alnx2，
所以m+n=

1

2

a(

x

2 1

+

x

2 2

)-2(x1+x2)+alnx1x2
=

1

2

•

2

x1+x2

[(x1+x2)2-2x1x2]-2(x1+x2)
=-(x1+x2)-

2

x1+x2

=-[(x1+

1

x1

)+

2

x1+ 1 x1

]，
∵(x1+

1

x1

)′=1-

1

x 2 1

＜0，
∴x1+

1

x1

在区间(

1

3

，

1

2

)是减函数，
∴x1+

1

x1

∈(

5

2

，

10

3

)，
设t=x1+

1

x1

，且g（t）=-t-

2

t

 (

5

2

＜t＜

10

3

)，
∴g′(t)=

2

t2

-1＜0，
∴g（t）在区间(

5

2

，

10

3

)上是减函数，
g(

5

2

)=-

33

10

，g(

10

3

)=-

59

15

，
∴g(t)∈(-

59

15

，-

33

10

)，
因此m+n∈(-

59

15

，-

33

10

)．

点评：本题考察了利用导数求函数的单调性，求函数的极值问题，是一道中档题．