题目内容

下列命题中，正确的是
 

①平面向量
a
与
b
的夹角为60°，
a
=（2，0），|
b
|=1，则|
a
+
b
|=
7
；
②已知
a
，
b
是平面内两个非零向量，则平面内任一向量
c
都可表示为λ
a
+μ
b
，其中λ，μ∈R；
③已知
a
=（sinθ，
1+cosθ
），
b
=（1，
1-cosθ
），其中θ∈（π，
3π
2
），则
a
⊥
b
；
④O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：
OP
=
OA
+λ（
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
），λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的内心．
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：①由已知可求出
a
•
b
，然后根据|
a
+
b
|=
(
a
+
b
)2
，展开即可求解
②由平面向量的基本定理可知，
a
，
b
不能为共线向量
③把等式中
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
利用向量加法的平行四边形法则表示，由此式可知直线AP一定通过△ABC的内心．
解答： 解：①∵向量
a
与
b
的夹角为60°，
a
=（2，0），|
b
|=1
∴
a
•
b
=|
a
||
b
|cos60°=2×1×
1
2
=1
∴|
a
+
b
|=
(
a
+
b
)2
a
2+2
a
•
b
+
b
2

=
4+2+1
=
7

故①正确
由平面向量的基本定理可知，只要当
a
，
b
是平面内两个不共线的向量，则平面内任一向量
c
都可表示为λ
a
+μ
b
，其中λ，μ∈R，故②错误
③∵
a
=（sinθ，
1+cosθ
），
b
=（1，
1-cosθ
），其中θ∈（π，
3π
2
）
∴
a
•
b
=sinθ×1+
(1+cosθ)(1-cosθ)
=sinθ+
1-cos2θ
=sinθ-sinθ=0
∴
a
⊥
b
，故③正确
∵
OP
=
OA
+λ（
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
），λ∈（0，+∞），设
e1
=
AB
|
AB
|
，
e2
=
AC
|
AC
|

=
OA
+λ（
e1
+
e2
）
OP
-
OA
=λ(
e1
+
e2
)
∴
AP
=λ(
e1
+
e2
)
由向量加法的平行四边形法则可知，以
e1
，
e2
为邻边的平行四边形为菱形，而菱形的对角线平分对角
∴直线AP即为A的平分线所在的直线，即一定通过△ABC的内心，故④正确
点评：本题主要考查了命题真假关系的判断，解答④的关键是需要知道
a
|
a
|
是
a
方向上的单位向量
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=
1
3
x3-
a+1
2
x2+bx+a（a，b∈R），其导函数f′（x）的图象过原点．
（1）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=3处的切线方程；
（2）若存在x＜0，使得f′（x）=-9，求a的最大值；
（3）当a＞-1时，确定函数f（x）的零点个数．
直线x-y+3=0在y轴上的截距为
 
．
对任意x＞0，都有a-x-|lnx|≤0成立，则实数a的取值范围是
 
．
已知角α的终边上一点坐标为P（x，-8），且cosα=
3
5
，则x=
 
．
如图，设G、H分别为△ABC的重心、垂心，F为线段GH的中点，若△ABC外接圆的半径为1，则|
AF
|2+|
BF
|2+|
CF
|2=
 
．
给出下列四个命题
①已知函数f（x）=
1  (x为有理数)
0 (x为无理数)
，则f（x）为偶函数；
②将5封信投入3个邮筒，不同的投法有53种投递方法；
③函数f（x）=e-x•x2在x=2处取得极大值；
④已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是y=
1
2
x+2，则f（1）+f′（1）=3．
其中真命题的序号是
 
．（写出所有真命题的序号）
已知复数z满足（z-1）（1+2i）=2i（i为虚数单位），则z的虚部是（　　）
A、
2
5
i
B、
2
5
C、
3
5
D、
9
5
已知命题p：?x∈R，lnx+x-2=0，命题q：?x∈R，2x≥x2，则下列命题中为真命题的是（　　）
A、p∧qB、￢p∧q
C、p∧￢qD、￢p∧￢q

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