Question

f（x）=ax+

1

a

（1-x），其中a＞0，记f（x）在0≤x≤1的最小值为g（a）．
（1）求g（a）的解析式；
（2）求g（a）的最大值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：化简f（x）=ax+

1

a

（1-x）=（a-

1

a

）x+

1

a

，
（1）讨论一次项的系数可确定函数的单调性，从而求最小值；
（2）由分段函数的性质求函数的最大值．

解答： 解：f（x）=ax+

1

a

（1-x）=（a-

1

a

）x+

1

a

，
（1）当0＜a＜1时，a-

1

a

＜0；
故f（x）在[0，1]上是减函数，
故g（a）=f（1）=a；
当a=1时，f（x）=1；故g（a）=1；
当a＞1时，a-

1

a

＞0；
故f（x）在[0，1]上是增函数，
故g（a）=f（0）=

1

a

；
故g（a）=

a，0＜a≤1 1 a ，a＞1

；
（2）由（1）易知，
g（a）的最大值为1．

点评：本题考查了函数的单调性的判断与应用，同时考查了分段函数的应用，属于中档题．