Question

已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）=-2
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）求证：f（x）为R上的减函数；
（3）求f（x）在区间[-3，3]上的值域．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的值域,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）取x=y=0代入f（x+y）=f（x）+f（y）可得f（0）=0，再取y=-x可判断f（x）为奇函数；
（2）由单调性的定义证明函数的单调性；
（3）由（2）知f（x）在R上为减函数，故对任意x∈[-3，3]，恒有f（3）≤f（x）≤f（-3），从而求f（3）及f（-3）即可求出值域．

解答： 解：（1）取x=y=0，则f（0+0）=2f（0），
∴f（0）=0．
取y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x）对任意x∈R恒成立，
∴f（x）为奇函数．
（2）证明：任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜-f（-x₁），
又f（x）为奇函数，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）是R上的减函数．
（3）由（2）知f（x）在R上为减函数，
∴对任意x∈[-3，3]，恒有f（3）≤f（x）≤f（-3），
∵f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=-2×3=-6，
∴f（-3）=-f（3）=6，
故f（x）在[-3，3]上的值域为[-6，6]．

点评：本题考查了抽象函数的性质的判断与证明，同时考查了函数的值域的求法，属于中档题．