Question

已知函数f（x）=cos

2π

3

cos(

π

2

+2x)，则函数f（x）满足（　　）

• A、f（x）的最小正周期是2π
• B、若f（x₁）=f（x₂），则x₁=x₂
• C、f（x）的图象关于直线x=

  3π

  4

  对称；
• D、当x∈[-

  π

  6

  ，

  π

  3

  ]时，f（x）的值域为[-

  3

  4

  ，

  3

  4

  ]

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,运用诱导公式化简求值,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用三角恒等变换可得f（x）=

1

2

sin2x，再利用正弦函数的图象与性质对A，B，C，D四个选项逐一分析判断即可．

解答： 解：对于A，∵f（x）=cos

2π

3

cos(

π

2

+2x)=-

1

2

•（-sin2x）=

1

2

sin2x，
∴其周期T=π，排除A；
对于B，若f（x₁）=f（x₂），则x₁=kπ+x₂，或x₁=

kπ

2

-x₂，故B错误；
对于C，∵f（

3π

4

）=

1

2

sin

3π

2

=-

1

2

为最小值，故f（x）的图象关于直线x=

3π

4

对称，C正确；
对于D，当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，2x∈[-

π

3

，

2π

3

]，sin2x∈[-

3

2

，1]，f（x）的值域为[-

3

4

，

1

2

]，故D错误；
故选：C．

点评：本题考查三角恒等变换，着重考查正弦函数的图象与性质，属于中档题．