Question

已知向量

a

=（

3

sinx，-cosx），

b

=（cosx，cosx），记函数f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且c=

3

，f（C）=

1

2

，若向量

m

=（1，sinA）与

n

=（2，sinB）共线，求a，b的值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）函数化简为：f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，即可求得f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）由f（C）=

1

2

可求C的值，根据向量m与n共线可求得b=2a，再根据a²+b²-ab=3，进而解得a，b的值．

解答： 解：（1）依题意，f（x）=

3

sinxcosx-cos²x=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-

1

2

（3分）
所以最小正周期T=

2π

2

=π，（4分）
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
所以f（x）的单调递增区间是：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z．（6分）
（2）由f（C）=sin（2C-

π

6

）-

1

2

=

1

2

，得sin（2C-

π

6

）=1，（7分）
因为0＜C＜π，所以-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，所以2C-

π

6

=

π

2

，解得C=

π

3

，（8分）
因为向量m=（1，sinA）与n=（2，sinB）共线，所以sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，…①（9分）
在△ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos

π

3

，即a²+b²-ab=3，…②（11分）
由①②，解得a=1，b=2．（13分）

点评：本题主要考察了平面向量数量积的运算，余弦定理、两角和与差的正弦函数公式的综合应用，属于中档题．