Question

3．给出下列结论：
①若扇形的中心角为2，半径为1，则该扇形的面积为1；
②函数y=cos²x-sin²x（x∈R）是偶函数；
③点（$\frac{π}{8}$，0）是函数y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）图象的一个对称中心；
④函数y=cosx-sinx在[0，$\frac{π}{2}$]上是减函数，
其中正确结论的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根据扇形的面积S=$\frac{1}{2}$αR²计算即可；
②利用二倍角公式化简函数y，判断它是偶函数；
③计算x=$\frac{π}{8}$时y的值，判断点（$\frac{π}{8}$，0）不是函数y的对称中心；
④化函数y=$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$），判断x∈[0，$\frac{π}{2}$]时y是减函数．

解答 解：对于①，扇形的中心角为2，半径为1，
则该扇形的面积为S=$\frac{1}{2}$αR²=$\frac{1}{2}$×2×1²=1，①正确；
对于②，函数y=cos²x-sin²x=cos2x（x∈R），它是偶函数，②正确；
对于③，当x=$\frac{π}{8}$时，y=sin（2×$\frac{π}{8}$+$\frac{5π}{4}$）=-1，
点（$\frac{π}{8}$，0）不是函数y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）图象的一个对称中心，③错误；
对于④，函数y=cosx-sinx=$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$），
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，∴y是减函数，④正确，
综上，正确的命题序号是①②④，共3个．
故选：C．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化法与函数思想，是综合题．