Question

1．若对于定义在R上的连续函数f（x），存在常数a（a∈R），使得f（x+a）+af（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是回旋函数，且阶数为a．
（1）试判断函数f（x）=sinπx是否是一个阶数为1的回旋函数，并说明理由；
（2）已知f（x）=sinωx是回旋函数，求实数ω的值；
（3）若回旋函数f（x）=sinωx-1（ω＞0）在[0，1]恰有100个零点，求实数ω的值．

Answer 1

分析 （1）根据定义验证f（x+1）+f（x）=0是否恒成立即可得出结论；
（2）根据定义列出恒等式，令x=0即可得出sinωa=0，从何计算出cosωa=-a，故而得出a=±1，从而得出ω的值；
（3）根据零点个数得出ω的范围，根据（2）的结论和恒等式得出a=-1，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{sin（-ω）=0}\\{cos（-ω）=1}\end{array}\right.$，结合ω的范围即可得出ω的值．

解答 解：（1）f（x）=sinπx，f（x+1）=sin[π（x+1）]=-sinπx=-f（x），
∴f（x+1）+f（x）=0对任意的实数x成立，
∴f（x）是一个阶数为1的回旋函数．
（2）由于f（x）=sinωx是回旋函数，
故有：sin[ω（x+a）]+asinωx=0对任意实数x成立，
∴sinωx（a+cosωa）+cosωxsinaω=0恒成立．
令x=0，可得sinωa=0，
∴cosωa=-a，
∴a=±1，ω=kπ（k∈Z）．
（3）令f（x）=sinωx-1=0得sinωx=1，
即ωx=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，∴x=$\frac{2kπ}{ω}$+$\frac{π}{2ω}$．
∵f（x）在[0，1]恰有100个零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{198π}{ω}+\frac{π}{2ω}≤1}\\{\frac{200π}{ω}+\frac{π}{2ω}＞1}\end{array}\right.$，解得：$\frac{397π}{2}$≤ω＜$\frac{401π}{2}$．
由于f（x）=sinωx-1是回旋函数，
故有：sin[ω（x+a）]-1+asinωx-a=0对任意实数x成立，
由（2）可知a=-1．
令x=0，可得sinωa=sin（-ω）=1+a=0，
∴cos（-ω）=1，
∴-ω=2kπ，即ω=-2kπ，k∈Z．
又$\frac{397π}{2}$≤ω＜$\frac{401π}{2}$，
∴ω=200π．

点评 本题考查了对新定义的理解与应用，函数恒成立问题与三角函数的性质，属于中档题．