Question

14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos²B-cos²C=${sin^2}A-\sqrt{3}sinAsinB$．
（1）求角C；
（2）若$∠A=\frac{π}{6}$，△ABC的面积为$4\sqrt{3}$，M为AB的中点，求CM的长．

Answer 1

分析 （1）推导出sin²C-sin²B=sin²A-$\sqrt{3}sinAsinB$，由正弦定理，得${c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}-\sqrt{3}ab$．由余弦定理，得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}ab}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由此能求出∠C．
（2）由$∠A=∠C=\frac{π}{6}$得到${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}{a^2}sinB$=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}=4\sqrt{3}$，求出a=4，再由余弦定理，能求出CM．

解答 解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos²B-cos²C=${sin^2}A-\sqrt{3}sinAsinB$．
∴sin²C-sin²B=sin²A-$\sqrt{3}sinAsinB$．
由正弦定理，得c²-b²=a²-$\sqrt{3}ab$，
即${c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}-\sqrt{3}ab$．
又由余弦定理，得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}ab}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵0＜∠C＜π，∴∠C=$\frac{π}{6}$．
（2）∵$∠A=∠C=\frac{π}{6}$，∴△ABC为等腰三角形，且顶角$∠B=\frac{2π}{3}$．
故${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}{a^2}sinB$=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}=4\sqrt{3}$，解得a=4．
在△MBC中，由余弦定理，得：
CM²=MB²+BC²-2MB•BCcosB=4+16+2×2×$4×\frac{1}{2}$=28．
解得CM=2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查三角形的内角求法，考查三角形的边的求法，考查同角三角函数关系式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．