Question

已知△ABC的三个内角A，B，C满足：sin²（A+C）=

3

sinBcosB，cos﹙C-A﹚=-2cos2A．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）已知函数f（x）=sinx-

3

cosx（x∈R），求f（A+

π

4

）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，根据所给条件，A+C=π-B，分别利用已知条件，得到A=B=

π

3

，从而得到三角形的形状．
（2）借助于辅助角公式，利用三角函数公式和两角和与差的三角公式进行化简求值即可．

解答： 解：（1）∵A+C=π-B，
∴sin²B=

3

sinBcosB，
∴tanB=

3

，∵0＜B＜π，
∴B=

π

3

，
∴C=

2π

3

-A，
∵cos﹙C-A﹚=-2cos2A，
∴cos（2A-

2π

3

）=-2cos2A，
∴cos2Acos

2π

3

+sin2Asin

2π

3

=-2cos2A，
∴

3

2

sin2A+

3

2

cos2A=0，
∴

3

sin（2A+

π

3

）=0，
∴2A+

π

3

=π，
∴A=

π

3

，
∴△ABC的形状为等边三角形；
（2）∵函数f（x）=sinx-

3

cosx（x∈R）
=2sin（x-

π

3

），
∴f（A+

π

4

）=2sin（

π

3

+

π

4

-

π

3

）
=2sin

π

4

=

2

∴f（A+

π

4

）的值为

2

．

点评：本题重点考查三角函数及其恒等变换公式的灵活运用，注意三角形中的边角关系问题，属于中档题．