Question

已知圆C₁：x²+y²+2mx-2（2m-1）y+4m²-4m=0，圆C₂：（x-1）²+（y+1）²=4．
（1）若圆C₁始终平分圆C₂的周长，求m；
（2）求圆C₁的圆心的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：直线与圆

分析：（1）若圆C₁始终平分圆C₂的周长，则C₂的圆心在公共弦上，将两圆的方程相减的得公共弦方程为（2m+2）x-4my+4m²-4m+2=0，将圆心坐标代入即可．
（2）把圆化为标准方程后得到：圆心为（-m，2m-1），令x=-m，y=2m-1，消去m即可得到y与x的解析式．

解答： 解：（1）圆C₁的x²+y²+2mx-2（2m-1）y+4m²-4m=0可化为，
圆C₂：（x-1）²+（y+1）²=4化为圆的一般式方程为x²+y²-2x+2y-2=0．
两式相减得公共弦方程为（2m+2）x-4my+4m²-4m+2=0，
若圆C₁始终平分圆C₂的周长，则C₂的圆心（1，-1）在公共弦上，
∴把圆心（1，-1）代入（2m+2）x-4my+4m²-4m+2=0，
（2m+2）+4m+4m²-4m+2=0，
即4m²+2m+4=0，∴2m²+m+2=0，△＜0，无解
∴不存在m，使圆C₁始终平分圆C₂的周长．
（2）把圆C₁的方程化为标准方程得（x+m）²+[y-（2m-1）]²=m²+1
则圆心坐标为

x=-m y=2m-1

，所以消去m可得y=-2x-1即2x+y+1=0
故圆C₁的圆心的轨迹方程为：2x+y+1=0

点评：本题主要考查圆与圆的位置关系，同时考查学生会将圆的方程变为标准方程，会把直线的参数方程化为一般方程．