Question

已知实轴长为2的等轴双曲线S的焦点在y轴上．
（1）求双曲线S的方程；
（2）设l₁，l₂是过点P（-

2

，0）的两条相互垂直的直线，且l₁，l₂与双曲线S各有两个交点，求l₁的斜率k₁的取值范围．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）实轴长为2的等轴双曲线S的焦点在y轴上．a=1，b=1求出方程即可．
（2）显然l₁、l₂斜率都存在，设l₁的斜率为k₁，得到l₁、l₂的方程，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y得到关于x的二次方程，再结合根的判别即可求得斜率k₁的取值范围；

解答： 解：（1）∵实轴长为2的等轴双曲线S的焦点在y轴上．
∴a=1，b=1
∴方程为：y²-x²=1，
（2）（1）显然l₁、l₂斜率都存在，否则l₁、l₂与曲线不相交．设l₁的斜率为k₁，
则l₁的方程为y=k₁（x+

2

）．
联立得y=k₁（x+

2

），y²-x²=1，
消去y得
（k₁²-1）x²+2

2

k₁²x+2k₁²-1=0．①
根据题意得k₁²-1≠0，②
△₁＞0，即有12k₁²-4＞0．③
完全类似地有

1

k 2 1

-1≠0，④
△₂＞0，即有12•

1

k 2 1

-4＞0，⑤
从而k₁∈（-

3

，-

3

3

）∪（

3

3

，

3

）且k₁≠±1

点评：本题综合考察了直线与圆锥曲线的位置关系，运用方程组解决问题，属于难题．