Question

数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=λa_n+2ⁿ（n∈N^*），其中λ为常数．
（1）若a₂=0，求a₃的值；
（2）是否存在实数λ，使得数列{a_n}为等差数列，若存在，求数列{a_n}的通项公式，若不存在，请说明理由；
（3）设λ=1，b_n=

4n-7

an

，数列{b_n}的前n项和为S_n，求满足S_n＞0的最小自然数n的值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：计算题,存在型,等差数列与等比数列

分析：（1）运用直接法，求出λ，代入即可得到a₃的值；
（2）a₁=2，a₂=2λ+2，a₃=λa₂+4=2λ²+2λ+4．若数列{a_n}为等差数列，得λ²-λ+1=0，由△=1²-4=-3＜0，知方程无实根，故不存在实数λ；
（3）运用累加法，求出数列{a_n}的通项，再由错位相减法，即可得到数列{b_n}的前n项和为S_n，令S_n＞0，即可得到最小的n．

解答： 解：（1）a₁=2，a_n+1=λa_n+2ⁿ（n∈N^*），
由于a₂=0，则2λ+2=0，则λ=-1，
a₃=-a₂+4=4；
（2）a₁=2，a₂=2λ+2，a₃=λa₂+4=2λ²+2λ+4．
若数列{a_n}为等差数列，则a₁+a₃=2a₂，即2+（2λ²+2λ+4）=2（2λ+2），
得λ²-λ+1=0，由△=1²-4=-3＜0知方程无实根，
故不存在实数λ，使得数列{a_n}为等差数列；
（3）设λ=1，则a_n+1=a_n+2ⁿ（n∈N^*），则a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）
=2+2+…+2^n-1=2ⁿ，
则b_n=

4n-7

an

=

4n-7

2n

，
则S_n=（-3）•

1

2

+1•

1

4

+…+

4n-7

2n

，①

1

2

S_n=（-3）•

1

4

+1•

1

8

+…+（4n-7）•（

1

2

）ⁿ⁺¹，②
①-②得，

1

2

S_n=-

3

2

+

4•(1- 1 2n-1 )

1- 1 2

×

1

4

-（4n-7）•（

1

2

）ⁿ⁺¹，
即有S_n=1-

4n+1

2n

，
令S_n＞0，即有4n+1＜2ⁿ，
解得，n=1，2，3，4不成立，n≥5均成立，
故满足S_n＞0的最小自然数n的值为5．

点评：本题考查等差数列的性质和等比数列的通项和求和公式，以及数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．