Question

15．若$f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的部分图象如图所示．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若将y=f（x）图象上所有点沿着$\overrightarrow a=（-θ，0）（θ＞0）$方向移动得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个对称轴为$x=\frac{5}{6}π$，求θ的最小值；
（3）在第（2）问的前提下，求出函数y=g（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）由图知周期$T=\frac{11π}{12}-（-\frac{π}{12}）=π$，故ω=2，且A=2，于是f（x）=2cos（2x+φ），利用五点作图法可求得φ，从而可得函数y=f（x）的解析式；
（2）依题意得：$g（x）=2cos[{2（x+θ）-\frac{π}{3}}]=2cos（2x+2θ-\frac{π}{3}）$，$2•\frac{5}{6}π+2θ-\frac{π}{3}=kπ（k∈Z）$，可求得$θ=\frac{kπ}{2}-\frac{2π}{3}（k∈Z）$，继而可得当k=2时，θ取得最小值$\frac{π}{3}$；
（3）由于$g（x）=2cos（2x+\frac{π}{3}）$，当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，$2x+\frac{π}{3}∈[{\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}}]$，此时$cos（2x+\frac{π}{3}）∈[{-1，\frac{1}{2}}]$，从而可得函数y=g（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的值域．

解答 解：（1）由图知周期$T=\frac{11π}{12}-（-\frac{π}{12}）=π$，∴ω=2，且A=2，
∴f（x）=2cos（2x+φ）．把$x=-\frac{π}{12}，y=0$代入上式得$cos（φ-\frac{π}{6}）=0$，
∴$φ-\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}$，即$φ=kπ+\frac{2π}{3}（k∈Z）$．
又$|φ|＜\frac{π}{2}$，∴$φ=-\frac{π}{3}$．即$f（x）=2cos（2x-\frac{π}{3}）$．
（2）$g（x）=2cos[{2（x+θ）-\frac{π}{3}}]=2cos（2x+2θ-\frac{π}{3}）$，
由题意得：$2•\frac{5}{6}π+2θ-\frac{π}{3}=kπ（k∈Z）$，∴$θ=\frac{kπ}{2}-\frac{2π}{3}（k∈Z）$，
∵θ＞0，∴当k=2时，θ的最小值为$\frac{π}{3}$．
（3）此时$g（x）=2cos（2x+\frac{π}{3}）$．
当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，$2x+\frac{π}{3}∈[{\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}}]$，此时$cos（2x+\frac{π}{3}）∈[{-1，\frac{1}{2}}]$，
于是函数y=g（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的值域为[-2，1]．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换及余弦函数的单调性，考查识图能力与分析运算能力，属于中档题．