Question

4．若函数f（x）为R上的奇函数，且在[0，+∞）上单调递减，又f（sinx-1）＞-f（sinx），x∈[0，π]，则x的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$）
• B． [0，$\frac{π}{3}$]∪（$\frac{2π}{3}$，π]
• C． [0，$\frac{π}{6}$）∪（$\frac{5π}{6}$，π]
• D． （$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$）

Answer 1

分析 根据题意，由函数奇偶性的性质可得函数f（x）在R上为减函数，进而由f（sinx-1）＞-f（sinx）分析可得sinx＜$\frac{1}{2}$，结合x的取值范围，分析可得答案．

解答 解：根据题意，函数f（x）为R上的奇函数，且在[0，+∞）上单调递减，
则函数f（x）在（-∞，0]上也为减函数，
即函数f（x）在R上为减函数，
f（sinx-1）＞-f（sinx）⇒f（sinx-1）＞f（-sinx）⇒sinx-1＜-sinx⇒sinx＜$\frac{1}{2}$，
又由x∈[0，π]，
则有0≤x＜$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$＜x≤π，即x的取值范围是[0，$\frac{π}{6}$）∪（$\frac{5π}{6}$，π]；
故选：C．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数f（x）在R的单调性．