Question

7．已知二次函数f（x）=mx²+4x+1，且满足f（-1）=f（3）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）的定义域为（-2，2]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的图象是抛物线，且满足f（-1）=f（3），得出f（x）的对称轴为x=1，从而求出m的值，写出f（x）的解析式；
（2）根据f（x）的解析式求f（x）在（-2，2]上的取值范围即可．

解答 解：（1）二次函数f（x）=mx²+4x+1，且满足f（-1）=f（3），
所以二次函数f（x）的对称轴为x=1，…（2分）
即$-\frac{4}{2m}=1$，解得m=-2；…（4分）
所以该函数的解析式为f（x）=-2x²+4x+1；…（6分）
（2）由（1）得f（x）=-2x²+4x+1=-2（x-1）²+3，…（9分）
所以f（x）在（-2，2]上的最大值是f（1）=3；
且满足f（x）＞f（-2）=-2×（-3）²+3=-15，
所以f（x）的值域为（-15，3]．…（12分）

点评 本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了二次函数在某一区间上的最值问题，是中档题．