Question

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$a=3，c=\sqrt{2}，B=\frac{π}{4}$．
（1）求b；
（2）求sin2C．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理能求出b．
（2）由正弦定理得sinC=$\frac{c•sinB}{b}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，由c＜b，得cosC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，由此能求出sin2C．

解答 解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
$a=3，c=\sqrt{2}，B=\frac{π}{4}$，
∴由余弦定理得：
b²=a²+c²-2accosB，
=（$\sqrt{2}$）²+3²-2×$\sqrt{2}$×$3×\frac{\sqrt{2}}{2}$=5，
∴b=$\sqrt{5}$．
（2）由正弦定理得：$\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$，
∴sinC=$\frac{c•sinB}{b}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵c＜b，∴cosC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sin2C=2sinCcosC=2×$\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查三角形的边长的求法，考查三角形的内角的二倍的正弦值的求法，考查余弦定理、正弦定理、二倍角公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．