Question

10．在△ABC中，AB=AC=2$\sqrt{3}$，∠BAC=120°，点M，N在线段BC上．
（1）若AM=$\sqrt{7}$，求BM的长；
（2）若MN=1，求$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）在△ABM中，利用余弦定理计算BM；
（2）以BC的中点为原点建立坐标系，设M（t，0），N（t+1，0），用t表示出$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$的函数，利用t的范围和二次函数的性质得出答案．

解答 解：（1）在△ABM中，由余弦定理得：
AM²=BM²+AB²-$\sqrt{3}$AB•BM，
即7=BM²+12-$\sqrt{3}•2\sqrt{3}•BM$，解得：BM=1或BM=5．
（2）取BC得中点O，连接AO，
以BC，OA为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
则A（0，$\sqrt{3}$），B（-3，0），C（3，0），
设M（t，0），N（t+1，0），则$\overrightarrow{AM}$=（t，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AN}$=（t+1，-$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=t²+t+3=（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{11}{4}$（-3≤t≤2），
∴当t=-$\frac{1}{2}$时，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$取得最小值$\frac{11}{4}$，当t=2时，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$取得最大值9．
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$的取值范围是[$\frac{11}{4}$，9]．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，解三角形，属于中档题．