Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA=PC，
（1）证明：PB⊥AC；
（2）若平面PAC⊥平面平面ABCD，∠ABC=60°，PB=AB，求二面角D-PB-C的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连接PO，AC⊥BD，且O为AC和BD的中点，由PA=PC，得AC⊥PO，从而AC⊥平面PBD，由此能证明PB⊥AC．
（Ⅱ）由已知得PO⊥平面ABCD，过点O作OH⊥PB于点H，连结CH，得CH⊥PB，从而∠OHC是二面角D-PB-C的平面角，由此能求出二面角D-PB-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：连接PO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且O为AC和BD的中点，
又PA=PC，∴AC⊥PO，
∵BD∩PO=O，BD、PO?平面PBD，
∴AC⊥平面PBD，
∵PB?平面PBD，∴PB⊥AC．
（Ⅱ）解：∵平面PAC⊥平面ABCD，
平面PAC∩平面ABCD=AC，AC⊥PO，PO?平面PAC，
∴PO⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，∴PO⊥BD，
过点O作OH⊥PB于点H，连结CH，得CH⊥PB，
∴∠OHC是二面角D-PB-C的平面角，
设PA=AB=a，
∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AB=BC=AC，CO=

1

2

a，BO=

3

2

a，
在Rt△POB中，PO=

PB2-BO2

=

a2- 3 4 a2

=

1

2

a，
OH=

PO•BO

PB

=

3

4

a，
∴在Rt△COH中，CH=

CO2+OH2

=

( a 2 )2+( 3 4 a)2

=

7

4

a，
cos∠CHO=

OH

CH

=

21

7

，
∴二面角D-PB-C的余弦值

21

7

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．