Question

如图，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=DA=3AF=6．
（Ⅰ）求证：AC⊥BE
（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（I）在正方形ABCD中，可得AC⊥BD．根据DE⊥平面ABCD，得DE⊥AC，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE，从而可得AC⊥BE；
（II）证明AB⊥平面ADEF，BC⊥平面CDE，利用V=V_B-ADEF+V_E-BCD，求出多面体ABCDEF的体积．

解答： （Ⅰ）证明：∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DE⊥AC．
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
又∵BD、DE是平面BDE内的相交直线，
∴AC⊥平面BDE，结合BE?平面BDE，得AC⊥BE；
（Ⅱ）解：∵AB⊥AD，AB⊥DE，AD∩DE=D，
∴AB⊥平面ADEF，
同理BC⊥平面CDE，
∵AF∥DE，DE=DA=3AF=6，
∴V=V_B-ADEF+V_E-BCD=

1

3

×

1

2

×(2+6)×6×6+

1

3

×6×

6×6

2

=84-----------（12分）

点评：本题给出四棱锥的一条侧棱与底面垂直且底面是正方形，求证线线垂直并求多面体ABCDEF的体积，着重考查了线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．