Question

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）的图象如图所示，直线x=

3π

8

，x=

7π

8

是其两条对称轴．
（1）求函数f（x）的解析式及单调区间；
（2）若f（α）=

6

5

，且

π

8

＜α＜

3π

8

，求f(

π

8

+α)的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）根据函数的图象求出T、ω和φ的值，即得f（x），再求出f（x）的单调增区间；
（2）解法1：由sin（2α-

π

4

）求出cos（2α-

π

4

）的值，利用两角和的公式计算f（

π

8

+α）的值；
解法2：由sin（2α-

π

4

）得sin2α-cos2α的值，cos（α-

π

4

）得cos（2α-

π

4

）即sin2α+cos2α的值，计算出f（

π

8

+α）的值；
解法3：由sin（2α-

π

4

）得sin2α-cos2α的值，再得sin4α的值，再求出sin2α的值，从而求出f（

π

8

+α）的值．

解答： 解：（1）由题意，

T

2

=

7π

8

-

3π

8

=

π

2

，∴T=π；
又∵ω＞0，∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ）；（2分）
∵f（

3π

8

）=2sin（

3π

4

+φ）=2，
∴解得φ=2kπ-

π

4

（k∈Z）；
又∵-

π

2

＜φ＜

π

2

，∴φ=-

π

4

，
∴f（x）=2sin（2x-

π

4

）；（5分） 
∵2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
∴kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

（k∈Z），
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]（k∈Z）；（7分）
（2）解法1：依题意得，2sin（2α-

π

4

）=

6

5

，即sin（2α-

π

4

）=

3

5

，（8分）
∵

π

8

＜α＜

3π

8

，∴0＜2α-

π

4

＜

π

2

；
∴cos（2α-

π

4

）=

1-(sin(2α- π 4 ))2

=

4

5

，（10分）
f（

π

8

+α）=2sin[（2α-

π

4

）+

π

4

]；
∵sin[（2α-

π

4

）+

π

4

]=sin（2α-

π

4

）cos

π

4

+cos（2α-

π

4

）sin

π

4

=

2

2

（

3

5

+

4

5

）=

7 2

10

，
∴f（

π

8

+α）=

7 2

5

．（14分）
解法2：依题意得，sin（2α-

π

4

）=

3

5

，得sin2α-cos2α=

3 2

5

，①（9分）
∵

π

8

＜α＜

3π

8

，∴0＜2α-

π

4

＜

π

2

，
∴cos（α-

π

4

）=

1-sin2(2α- π 4 )

=

4

5

，（11分）
由cos（2α-

π

4

）=

4

5

得，sin2α+cos2α=

4 2

5

；②
①+②得，2sin2α=

7 2

5

，
∴f（

π

8

+α）=

7 2

5

．（14分）
解法3：由sin（2α-

π

4

）=

3

5

得，sin2α-cos2α=

3 2

5

，（9分）
两边平方得，1-sin4α=

18

25

，∴sin4α=

7

25

，
∵

π

8

＜α＜

3π

8

，∴

π

2

＜4α＜

3π

2

，∴cos4α=-

1-sin24α

=-

24

25

，（11分）
∴sin²2α=

1-cos4α

2

=

49

50

；
又∵

π

4

＜2α＜

3π

4

，∴sin2α=

7 2

10

，
∴f（

π

8

+α）=

7 2

5

．（14分）

点评：本题考查了三角函数求值的应用问题，也考查了三角函数图象与性质的应用问题，考查了三角恒等变换问题，是综合性题目