Question

12．已知等差数列{a_n}的公差d≠0，其前n项和为S_n，若S₉=99，且a₄，a₇，a₁₂成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若${T_n}=\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}$，证明：${T_n}＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由S₉=99，求出a₅=11，由a₄，a₇，a₁₂成等比数列，求出d=2，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）求出${S}_{n}=\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=n（n+2），从而$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，由此利用裂项求和法能证明${T_n}＜\frac{3}{4}$．

解答 解：（Ⅰ）因为等差数列{a_n}的公差d≠0，其前n项和为S_n，S₉=99，
∴a₅=11，…（2分）
由a₄，a₇，a₁₂成等比数列，得${{a}_{7}}^{2}={a}_{4}{a}_{12}$，
即（11+2d）²=（11-d）（11+7d），∵d≠0，∴d=2，…（4分）
∴a₁=11-4×2=3，
故a_n=2n+1 …（6分）
证明：（Ⅱ）${S}_{n}=\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=n（n+2），$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，…（8分）
∴${T_n}=\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}$
=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$）+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$）]…（10分）
=$\frac{1}{2}$[1+$\frac{1}{2}-（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$]=$\frac{3}{4}-\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$$＜\frac{3}{4}$，
故${T_n}＜\frac{3}{4}$． …（12分）

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和小于$\frac{3}{4}$的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．