Question

3．如果定义在R上的函数f（x）满足：对于任意x₁≠x₂，都有x_lf（x_l）+x₂f（x₂）≥x_lf（x₂）+x₂f（x_l），则称f（x）为“H函数”，给出下列函数：
①y=-x³+x+l；
②y=3x-2（sinx-cosx）；
③y=l-e^x；
④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx（x≥1）}\\{0（x＜1）}\end{array}\right.$；
⑤y=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$
其中“H函数”的个数有（　　）

• A． 3个
• B． 2个
• C． l个
• D． 0个

Answer 1

分析 根据题意，将x₁f（x₁）+x₂f（x₂）≥x₁f（x₂）+x₂f（x₁）变形可得[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）≥0，进而分析可得若函数f（x）为“H函数”，则函数f（x）为增函数或常数函数；据此依次分析所给函数的单调性，综合可得答案．

解答 解：根据题意，对于x₁f（x₁）+x₂f（x₂）≥x₁f（x₂）+x₂f（x₁），
则有f（x₁）（x₁-x₂）-f（x₂）（x₁-x₂）≥0，
即[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）≥0，
分析可得：若函数f（x）为“H函数”，则函数f（x）为增函数或常数函数；
对于①、y=-x³+x+l，有y′=-3x²+l，不是增函数也不是常数函数，则其不是“H函数”，
对于②、y=3x-2（sinx-cosx）；有y′=3-2（sinx+cosx）=3-2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），有y′≥0，
y=3x-2（sinx-cosx）为增函数，则其是“H函数”，
对于③、y=l-e^x=-e^x+1，是减函数，则其不是“H函数”，
对于④、f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx（x≥1）}\\{0（x＜1）}\end{array}\right.$，当x＜1时是常数函数，当x≥1时是增函数，则其是“H函数”，
对于⑤、y=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，当x≠0时，y=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$，当x＞1和x＜-1时，函数为减函数，故其不是增函数也不是常数函数，则其不是“H函数”，
综合可得：有2个是“H函数”，
故选：B．

点评 本题考查函数单调性的判定与应用，关键是依据x₁f（x₁）+x₂f（x₂）≥x₁f（x₂）+x₂f（x₁），判断出函数的单调性．