Question

8．已知函数f（x）=lnx-ax+a
（1）当a=-1时，若函数f（x）的图象在点（1，0）处的切线方程为直线1，求直线1的方程；
（2）若函数f（x）有一个大于1的零点，则a的取值范围；
（3）若f（x₀）=0，且x₀＞1，求证：x₀＞$\frac{2}{a}$-1．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）求出导数，对a讨论，分当a≤0时，当a≥1时，当0＜a＜1时，讨论函数的导数和单调性，以及零点存在定理的运用，即可得到所求a的范围；
（3）由题意求得a，欲证x₀$＞\frac{2}{a}-1$，只需证x₀＞$\frac{2（{x}_{0}-1）}{ln{x}_{0}}-1$，x₀＞1，即证lnx-2+$\frac{4}{x+1}$＞0，x＞1，于是令h（x）=lnx-2+$\frac{4}{x+1}$，求出导数，判断单调性，即可得证．

解答 解：（1）f（x）的导函数为f′（x）=$\frac{1}{x}$+1，
可得f′（1）=2，
则f（x）在（0，1）处的切线斜率为2，且经过（1，0）点，
则直线l为y=2x-2；
（2）f′（x）=$\frac{1}{x}$-a（x＞0），
当a≤0时，f′（x）=$\frac{1}{x}$-a＞0，f（x）单调增，
又f（1）=0，则f（x）在（1，+∞）上不存在第二个零点，故不成立；
当a≥1时，若x＞1，则f′（x）=$\frac{1}{x}$-a＜0，f（x）单调减，不成立；
当0＜a＜1时f（$\frac{1}{a}$）=-lna-1+a，
令t（a）=-lna-1+a，t′（a）=-$\frac{1}{a}$+1＜0，t（a）单调减，又t（1）=0，
则t（a）＞0，f（$\frac{1}{a}$）=-lna-1+a＞0，
f（e^-a）=-ae^-a＜0，故在（e^-a，$\frac{1}{a}$）上必有一零点．
综上，a的取值范围（0，1）；
（3）证明：f（x₀）=0，得到a=$\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}-1}$，
欲证x₀$＞\frac{2}{a}-1$，只需证x₀＞$\frac{2（{x}_{0}-1）}{ln{x}_{0}}-1$，x₀＞1，
即证lnx-2+$\frac{4}{x+1}$＞0，x＞1，
于是令h（x）=lnx-2+$\frac{4}{x+1}$，h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{（x+1）^{2}}$，
又因为（x+1）²-4x=（x-1）²≥0，
故h′（x）≥0，h（x）单调增，
又因为h（1）=0，x＞1，
故h（x）＞0，即有x₀＞$\frac{2}{a}$-1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查函数零点问题的解法，注意运用零点存在定理，考查不等式的证明，注意运用转化思想和构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于难题．