Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C是⊙O上一点，且AC=BC，PA=

6

，PC=2

2

，PB=

10

，E是PC的中点，F是PB的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：EF⊥平面PAC；
（3）求PC与平面ABC所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由中位线定理，再由线面平行的判定定理，即可得证；
（2）先运用直径所对的角为直角，及勾股定理的逆定理，再由线面垂直的判定定理，证得BC⊥平面PAC，由于EF∥BC，即可得证；
（3）运用线面垂直的判定定理，证得PA⊥平面ABC，即∠PCA为PC与平面ABC所成角，通过解直角三角形，即可得到．

解答： 证明：（1）在△PBC中，E是PC的中点，F是PB的中点，所以EF∥BC．
又BC?平面ABC，EF?平面ABC，所以EF∥平面ABC．
（2）因为AB是⊙O的直径，所以BC⊥AC．
在Rt△ABC中，AB=2，AC=BC，所以AC=BC=

2

．
因为在△PCB中，PB=

10

，PC=2

2

，BC=

2

，
所以PB²=PC²+BC²，所以BC⊥PC．
又PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC．
由（1）知EF∥BC，所以EF⊥平面PAC．
（3）解：由（2）知BC⊥平面PAC，PA?平面PAC，所以PA⊥BC．
因为在△PAC中，PC=2

2

，PA=

6

，AC=

2

，
所以PC²=PA²+AC²，所以PA⊥AC．
又AC∩BC=C，所以PA⊥平面ABC．
所以∠PCA为PC与平面ABC所成角．
在Rt△PAC中，tan∠PAC=

PA

AC

=

3

，所以∠PCA=

π

3

，
即PC与平面ABC所成角的大小为

π

3

．

点评：本题考查空间直线与平面的位置关系：平行和垂直，考查线面平行的判定和线面垂直的判定和性质及运用，考查空间直线和平面所成的角的求法，属于中档题．