Question

18．某公司为合理定价，在试销期间得到单价x（单位：元）与销售量y（单位：件）的数据如表：

单价x	80	82	84	86	88	90
销量y	90	84	83	80	75	68

（Ⅰ）根据上表数据，用最小二乘法求y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，且该产品的成本是75元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？最大利润是多少？（利润=销售收入-成本）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得的样本中心点（$\overline{x}$，$\overline{y}$），利用最小二乘法求的$\widehat{b}$及$\widehat{a}$，即可求得线性回归方程；
（Ⅱ）将线性回归方程代入求得利润公式，把所给的x的值代入利润公式z，根据二次函数的性质即可求得答案．

解答 解（I）$\overline x=\frac{1}{6}（80+82+84+86+88+90）=85$…（1分）
$\overline{y}$=$\frac{1}{6}$（90+84+83+80+75+68）=80…（2分）
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{6}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{6}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=-2，…（4分），则$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=250，…（6分）
∴线性回归方程为$\widehat{y}$=-2x+250．…（7分）
（II）预计公司获得利润z=（x-75）•y=-2x²+400x-18750…（9分）
当x=100时，函数取最大值为1250（元）．…（11分）
答：当该产品定价为100元/件时，利润最大为1250元．…（12分）

点评 本题考查利用最小二乘法求线性回归方程，考查回归方程的意义和求法，考查数据处理的基本方法和能力，考查利用统计思想解决实际问题的能力，属于中档题．