Question

10．设S_n表示数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）若{a_n}是等差数列，试证明：S_n=$\frac{{n（{a_1}+{a_n}）}}{2}$；
（Ⅱ）若a₁=1，q≠0，且对所有的正整数n，有S_n=$\frac{{1-{q^n}}}{1-q}$，判断{a_n}是否为等比数列．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式及其求和公式、倒序相加法即可得出．
（II）利用等比数列的通项公式定义、递推关系即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：设{a_n}的公差为d，则S_n=a₁+a₂+…+a_n=a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）+…+[a₁+（n-1）d]，
又S_n=a_n+（a_n-d）+（a_n-2d）+…+[a_n-（n-1）d]，
∴2S_n=n（a₁+a_n）
∴${S_n}=\frac{{n（{a_1}+{a_n}）}}{2}$．
（Ⅱ）解：{a_n}是等比数列．
证明如下：
∵${S_n}=\frac{{1-{q^n}}}{1-q}$
∴${a_{n+1}}={S_{n+1}}-{S_n}=\frac{{1-{q^{n+1}}}}{1-q}-\frac{{1-{q^n}}}{1-q}={q^n}$，
∵a₁=1，q≠0，
∴当n≥1时，有$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=q$．
因此，{a_n}是以1为首项，且公比为q的等比数列．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式及其求和公式、递推关系、倒序相加法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．