Question

已知定义在集合（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0 求证：
（1）对任意的x∈（0，+∞），有f（

1

x

）=-f（x）；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法求出f（1）的值，然后利用1=

1

x

•x，通过表达式求出结果即可．
（2）根据函数单调性的定义讨论函数的单调性．

解答： 解：（1）∵对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），
∴x=y=1时，f（1•1）=f（1）+f（1），
解得f（1）=0，
∵1=

1

x

•x，
∴f（

1

x

•x）=f（x）+f（

1

x

）=0，
∴f（

1

x

）=-f（x）；
（2）设任意实数x₁，x₂∈（0，+∞），且x₂＜x₁，
则f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

•x₂）-f（x₂）=f（

x1

x2

）+f（x₂）-f（x₂）=f（

x1

x2

）．
∵x₁，x₂∈（0，+∞），x₂＜x₁
∴

x1

x2

＞1，又当x＞1时有f（x）＞0
∴f（

x1

x2

）＞0即f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）函数在（0，+∞）是单调增函数．

点评：考查利用函数单调性的定义探讨抽象函数的单调性问题，对于解决抽象函数的一般采用赋值法，求某些点的函数值和证明不等式等，属中档题．