Question

已知数列{a_n}的首项a₁=a，前n项和为S_n，且-a₂，S_n，2a_n+1成等差．
（Ⅰ）试判断{a_n}是否成等比数列，并说明理由；
（Ⅱ）当a＞0时，数列{b_n}满足b₁=

1

a

，且b_n=

an

(an-a)(an+1-a)

（n≥2）．记数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：1≤aT_n＜2．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）2S_n=-a₂+2a_n+1⇒当n≥2时，2S_n-1=-a₂+2a_n，两式相减，可得

an+1

an

=2（n≥2），验证可得n=1时也满足

an+1

an

=2，从而知{a_n}是首项a₁=2，公比为2的等比数列，于是可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用裂项法易求b_n=

1

a

（

1

2n-1-1

-

1

2n-1

），从而可求T_n=

1

a

（2-

1

2n-1

），于是可得aT_n=2-

1

2n-1

，利用n≥2，即可证得1≤aT_n＜2．

解答： 解：（Ⅰ）∵2S_n=-a₂+2a_n+1，
∴当n≥2时，2S_n-1=-a₂+2a_n，
两式相减得2a_n=2a_n+1-2a_n（n≥2），
∴

an+1

an

=2；
又当n=1时，2a₁=-a₂+2a₂，得a₂=2a₁，
当a₁=a=0时，此时a_n=0，{a_n}不是等比数列，
当a≠0时，

an+1

an

=2，此时{a_n}是首项a₁=a，公比为2的等比数列，
∴a_n=a•2^n-1．
（Ⅱ）∵b₁=

1

a

，a_n=a•2^n-1，
当n≥2时，b_n=

a•2n-1

(a•2n-1-a)(a•2n-a)

=

1

a

（

1

2n-1-1

-

1

2n-1

），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

a

[1+（

1

21-1

-

1

22-1

）+（

1

22-1

-

1

23-1

）+…+（

1

2n-1-1

-

1

2n-1

）]
=

1

a

（2-

1

2n-1

）．
∴aT_n=2-

1

2n-1

，
∵n≥2，∴2ⁿ≥4，∴aT_n≥

5

3

＞1，又

1

2n-1

＞0，∴aT_n＜2．
而当n=1时，aT_n=1，
故1≤aT_n＜2．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差关系的确定与裂项法求和，考查分类讨论思想与推理运算及证明能力，属于难题．