Question

19．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F与双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且$|{AK}|=\sqrt{2}|{AF}|$，则A点的横坐标为3．

Answer 1

分析 根据双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得K的坐标，设A（x₀，y₀），过A点向准线作垂线AB，则B（-3，y₀），根据|AK|=$\sqrt{2}$|AF|及AF=AB=x₀-（-3）=x₀+3，进而可求得A点坐标．

解答 解：∵双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$，其右焦点坐标为（3，0）．
∴抛物线C：y²=12x，准线为x=-3，
∴K（-3，0）
设A（x₀，y₀），过A点向准线作垂线AB，则B（-3，y₀）
∵$|{AK}|=\sqrt{2}|{AF}|$，AF=AB=x₀-（-3）=x₀+3，
∴由BK²=AK²-AB²得BK²=AB²，从而y₀²=（x₀+3）²，即12x₀=（x₀+3）²，
解得x₀=3．
故答案为：3．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握．