Question

11．给出下列命题：
（1）若f（x-1）=f（1-x），则函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
（2）y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于直线x=0对称；
（3）$y={（{\frac{1}{2}}）^{|x|}}-{sin^2}x+2015$无最大值也无最小值；
（4）y=$\frac{2tanx}{1-ta{n}^{2}x}$的最小正周期为π；
（5）y=sinx（0≤x≤2π）有对称轴两条，对称中心三个； 则正确命题是没有．

Answer 1

分析 （1）若f（x-1）=f（1-x），可得f（x）=f（-x），由函数的奇偶性即可判断出对称性；
（2）由函数y=f（x）的图象向右平移一个单位可得：y=f（x-1）；由函数y=f（x）的图象关于y轴对称变换可得：y=f（-x），在向右平移一个单位可得：y=f（1-x），即可得出对称性；
（3）$y={（{\frac{1}{2}}）^{|x|}}-{sin^2}x+2015$=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}+co{s}^{2}x+2014，x≥0}\\{{2}^{x}+co{s}^{2}x+2014，x≤0}\end{array}\right.$，即可得出最值情况；
（4）y=$\frac{2tanx}{1-ta{n}^{2}x}$=tan2x，即可得出最小正周期；
（5）y=sinx（0≤x≤2π）有对称轴两条分别为：x=$\frac{π}{2}$，x=$\frac{3π}{2}$，对称中心只有一个（π，0），即可判断出正误．

解答 解：（1）若f（x-1）=f（1-x），可得f（x）=f（-x），因此函数f（x）的图象关于y轴对称，不正确；
（2）由函数y=f（x）的图象向右平移一个单位可得：y=f（x-1）；由函数y=f（x）的图象关于y轴对称变换可得：y=f（-x），在向右平移一个单位可得：y=f（1-x）．因此其图象关于直线x=1对称，因此不正确；
（3）$y={（{\frac{1}{2}}）^{|x|}}-{sin^2}x+2015$=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}+co{s}^{2}x+2014，x≥0}\\{{2}^{x}+co{s}^{2}x+2014，x≤0}\end{array}\right.$，可得最大值为2016，无最小值，因此不正确；
（4）y=$\frac{2tanx}{1-ta{n}^{2}x}$=tan2x，其最小正周期为$\frac{π}{2}$，因此不正确；
（5）y=sinx（0≤x≤2π）有对称轴两条分别为：x=$\frac{π}{2}$，x=$\frac{3π}{2}$，对称中心只有一个（π，0），因此不正确．
则正确命题是：没有．
故答案为：没有．

点评 本题考查了函数的奇偶性与对称性、函数的单调性与值域、三角函数的图象与性质、简易逻辑的判定方法、，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．