Question

14．已知函数f（x）=e^x，g（x）=lnx-lna（a为常数，e=2.718…），且函数y=f（x）在x=0处的切线和y=g（x）在x=a处的切线互相平行．
（Ⅰ）求常数a的值；
（Ⅱ）若存在x使不等式$x-m＞\sqrt{x}•f（x）$成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，从而求出切线的斜率，求出a的值即可；
（Ⅱ）分离出$m＜x-\sqrt{x}{e^x}$，令$h（x）=x-\sqrt{x}{e^x}$，求出函数的单调性，从而求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ） 因为f′（x）=e^x，-----------------------------------（1分）
所以函数y=f（x）在x=0处的切线的斜率${k_1}={e^0}=1$，-----------------------------------（2分）
又因为$g'（x）=\frac{1}{x}$，-----------------------------------（3分）
所以函数y=g（x）在x=a处的切线的斜率${k_2}=\frac{1}{a}$，-----------------------------------（4分）
所以，由$\frac{1}{a}=1$，得a=1；-----------------------------------（5分）
（Ⅱ） $x-m＞\sqrt{x}•f（x）$可化为$m＜x-\sqrt{x}{e^x}$，-----------------------------------（6分）
令$h（x）=x-\sqrt{x}{e^x}$，则$h'（x）=1-（\frac{1}{{2\sqrt{x}}}+\sqrt{x}）{e^x}$，-----------------------------------（7分）
因为x＞0，所以$\frac{1}{{2\sqrt{x}}}+\sqrt{x}≥\sqrt{2}$，${e^x}＞1⇒（\frac{1}{{2\sqrt{x}}}+\sqrt{x}）{e^x}＞1$，故h'（x）＜0，-----------------------------------（11分）
所以h（x）在（0，+∞）上是减函数，因此h（x）＜h（0）=0，-----------------------------------（12分）
所以，实数m的取值范围是（-∞，0）；-----------------------------------（13分）

点评 本题考察了切线方程问题，考察导数的应用，考察函数的单调性问题，是一道中档题．