Question

4．已知函数f（x）=$\frac{{{x^2}+3x+2a}}{x}$，x∈[2，+∞）
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，试判断f（x）在（2，+∞）上的单调性，并加以证明．
（2）若对任意x∈[2，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数单调性的定义，按照取值、作差、变形并判断符号、下结论的方法完成证明；
（2）这是一个不等式恒成立问题，可以转化为函数的最值问题求解，在求解之前可以先将字母a分离出来，然后构造函数，研究单调性，求其最值．

解答 解：（1）当$a=\frac{1}{2}$时，$f（x）=\frac{{x}^{2}+3x+1}{x}=x+\frac{1}{x}+3$，该函数在（2，+∞）上单调递增．
由题意设2≤x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=${x}_{2}-{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{2}}-\frac{1}{{x}_{1}}$
=$（{x}_{2}-{x}_{1}）（\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$①
因为2≤x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＞0，
所以①式＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以f（x₂）＞f（x₁），故函数f（x）在[2，+∞）上单调递增．
（2）由f（x）＞0有$\frac{{x}^{2}+3x+2a}{x}＞0$对x∈[2，+∞）恒成立，
即2a＞-x²-3x对x∈[2，+∞）恒成立，
令g（x）=-x²-3x，x∈[2．+∞），
该二次函数在$（-\frac{3}{2}，+∞）$上递减，所以该函数在[2，+∞）上递减，
故g（x）_max=g（2）=-10．
所以要使原式成立，只需2a＞g（x）_max=-10成立，
即a＞-5即为所求．

点评 对于函数的单调性，一般采用定义法或导数法进行判断或求解，本题用的是定义法；而不等式恒成立问题，一般转化为函数的最值解决问题，能分离参数的尽量分离参数．