Question

8．（1）f（x）=log₂（ax²+ax+1）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）=log₂（ax²+2ax+3）的值域为（-∞，0]，求实数a的值；
（3）若函数f（x）=log₂（x²+2ax+a+1）在区间（0，1]上递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若f（x）=log₂（ax²+ax+1）的定义域为R，则ax²+ax+1＞0恒成立，故a=0，或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={a}^{2}-4a＜0\end{array}\right.$，解得实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）=log₂（ax²+2ax+3）的值域为（-∞，0]，则t=ax²+2ax+3有最小值1，故$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ \frac{12a-4{a}^{2}}{4a}=1\end{array}\right.$，解得a值；
（3）若函数f（x）=log₂（x²+2ax+a+1）在区间（0，1]上递增，则t=x²+2ax+a+1在区间（0，1]上递增，且t=x²+2ax+a+1＞0在区间（0，1]上恒成立，故$\left\{\begin{array}{l}-a≤0\\ a+1≥0\end{array}\right.$，解得实数a的取值范围．

解答 解：（1）若f（x）=log₂（ax²+ax+1）的定义域为R，
则ax²+ax+1＞0恒成立，
故a=0，或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={a}^{2}-4a＜0\end{array}\right.$，
解得：a∈[0，4）；
（2）若函数f（x）=log₂（ax²+2ax+3）的值域为（-∞，0]，
则t=ax²+2ax+3有最小值1，故$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ \frac{12a-4{a}^{2}}{4a}=1\end{array}\right.$，解得：a=2，
（3）若函数f（x）=log₂（x²+2ax+a+1）在区间（0，1]上递增，
则t=x²+2ax+a+1在区间（0，1]上递增，且t=x²+2ax+a+1＞0在区间（0，1]上恒成立，
故$\left\{\begin{array}{l}-a≤0\\ a+1≥0\end{array}\right.$，解得：a≥0

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，对数函数的图象和性质，转化思想，难度中档．